Number field 25.5.1694065894508600678136645001359283924102783203125.1

• Label: 25.5.169...125.1
• Degree: $25$
• Signature: $[5, 10]$
• Discriminant: $1.694\times 10^{48}$
• Root discriminant: \(84.95\)
• Ramified prime: $5$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $A_5^5.C_{10}$ (as 25T187)

Normalized defining polynomial

x^25 - 25*x^22 + 25*x^21 + 110*x^20 - 625*x^19 + 1250*x^18 - 3625*x^17 + 21750*x^16 - 57200*x^15 + 112500*x^14 - 240625*x^13 + 448125*x^12 - 1126250*x^11 + 1744825*x^10 - 1006875*x^9 - 705000*x^8 + 4269125*x^7 - 3551000*x^6 + 949625*x^5 - 792500*x^4 + 1303750*x^3 - 899750*x^2 + 291625*x - 36535

Invariants

Degree:		$25$
Signature:		$[5, 10]$
Discriminant:		\(1694065894508600678136645001359283924102783203125\) \(\medspace = 5^{69}\)
Root discriminant:		\(84.95\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(5\)
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{5}) \)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$1$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{7}a^{17}+\frac{3}{7}a^{15}-\frac{1}{7}a^{14}+\frac{1}{7}a^{13}-\frac{3}{7}a^{12}+\frac{1}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}-\frac{3}{7}a^{9}+\frac{2}{7}a^{8}-\frac{3}{7}a^{7}+\frac{2}{7}a^{6}+\frac{1}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}+\frac{2}{7}a^{2}-\frac{3}{7}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{18}+\frac{3}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}-\frac{3}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{7}+\frac{1}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{5}-\frac{2}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{19}+\frac{1}{49}a^{18}+\frac{1}{49}a^{17}-\frac{5}{49}a^{16}+\frac{1}{49}a^{15}+\frac{2}{7}a^{14}+\frac{10}{49}a^{13}+\frac{18}{49}a^{12}-\frac{1}{49}a^{11}+\frac{19}{49}a^{10}-\frac{2}{49}a^{9}+\frac{16}{49}a^{8}-\frac{5}{49}a^{7}+\frac{1}{49}a^{6}-\frac{1}{7}a^{5}-\frac{1}{49}a^{4}+\frac{17}{49}a^{3}-\frac{13}{49}a^{2}+\frac{2}{7}a+\frac{19}{49}$, $\frac{1}{49}a^{20}+\frac{1}{49}a^{17}+\frac{6}{49}a^{16}-\frac{15}{49}a^{15}-\frac{11}{49}a^{14}+\frac{15}{49}a^{13}+\frac{9}{49}a^{12}-\frac{22}{49}a^{11}+\frac{1}{7}a^{10}-\frac{3}{49}a^{9}-\frac{1}{7}a^{8}-\frac{15}{49}a^{7}+\frac{6}{49}a^{6}+\frac{13}{49}a^{5}-\frac{3}{49}a^{4}+\frac{5}{49}a^{3}-\frac{8}{49}a^{2}-\frac{16}{49}a-\frac{12}{49}$, $\frac{1}{343}a^{21}+\frac{2}{343}a^{20}-\frac{6}{343}a^{18}-\frac{6}{343}a^{17}-\frac{171}{343}a^{16}-\frac{76}{343}a^{15}-\frac{101}{343}a^{13}-\frac{116}{343}a^{12}+\frac{117}{343}a^{11}-\frac{73}{343}a^{10}-\frac{132}{343}a^{9}-\frac{134}{343}a^{8}+\frac{4}{343}a^{7}-\frac{108}{343}a^{6}-\frac{117}{343}a^{5}+\frac{6}{343}a^{4}-\frac{33}{343}a^{3}+\frac{59}{343}a^{2}+\frac{40}{343}a+\frac{158}{343}$, $\frac{1}{343}a^{22}+\frac{3}{343}a^{20}+\frac{1}{343}a^{19}+\frac{13}{343}a^{18}+\frac{2}{343}a^{17}-\frac{10}{49}a^{16}+\frac{152}{343}a^{15}+\frac{116}{343}a^{14}+\frac{65}{343}a^{13}+\frac{97}{343}a^{12}+\frac{22}{343}a^{11}+\frac{2}{7}a^{10}-\frac{3}{343}a^{9}-\frac{57}{343}a^{8}-\frac{11}{343}a^{7}+\frac{99}{343}a^{6}+\frac{86}{343}a^{5}-\frac{171}{343}a^{4}-\frac{15}{343}a^{3}+\frac{69}{343}a^{2}-\frac{34}{343}a-\frac{120}{343}$, $\frac{1}{343}a^{23}+\frac{2}{343}a^{20}-\frac{1}{343}a^{19}+\frac{6}{343}a^{18}-\frac{10}{343}a^{17}+\frac{13}{49}a^{16}+\frac{29}{343}a^{15}+\frac{86}{343}a^{14}+\frac{71}{343}a^{13}+\frac{34}{343}a^{12}-\frac{1}{343}a^{11}-\frac{148}{343}a^{10}-\frac{144}{343}a^{9}-\frac{127}{343}a^{8}-\frac{95}{343}a^{7}-\frac{150}{343}a^{6}+\frac{75}{343}a^{5}+\frac{156}{343}a^{4}-\frac{19}{49}a^{3}+\frac{13}{343}a^{2}-\frac{9}{343}a-\frac{89}{343}$, $\frac{1}{53\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!90}{53\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!90}{53\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!63}{53\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!97}{53\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!76}{53\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!69}{53\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!12}{53\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!63}{53\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!90}{53\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!73}{53\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!84}{53\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!01}a+\frac{31\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!01}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$14$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{90\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!30}{75\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!38}{75\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!95}{75\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!20}{75\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a+\frac{78\!\cdots\!24}{75\!\cdots\!51}$, $\frac{12\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!27}{75\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!40}{75\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!22}{75\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{84\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!20}{75\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!21}{75\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!20}{75\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!20}{75\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{94\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a-\frac{90\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!51}$, $\frac{10\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!21}{75\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{99\!\cdots\!94}{75\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!19}{75\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a-\frac{94\!\cdots\!26}{75\!\cdots\!51}$, $\frac{22\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!40}{75\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{81\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!51}a+\frac{19\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!51}$, $\frac{29\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!52}{53\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!97}{53\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{73\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!56}{53\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!69}{53\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{92\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!58}{53\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!44}{53\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!53}{53\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!95}{53\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!66}{53\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!36}{53\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!26}{53\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!81}{53\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!16}{53\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!98}{53\!\cdots\!01}a-\frac{14\!\cdots\!74}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{30\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!83}{53\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!00}{53\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!56}{53\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!76}{53\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!52}{53\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!76}{53\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!36}{53\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!48}{76\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!83}{53\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!94}{53\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!28}{53\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!53}{53\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!54}{53\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!14}{53\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!28}{53\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!95}{53\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!01}a-\frac{21\!\cdots\!79}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{43\!\cdots\!86}{53\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!60}{53\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!04}{53\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!07}{53\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!16}{53\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!30}{53\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{88\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!35}{76\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!95}{53\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!78}{53\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!43}{53\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!60}{53\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!60}{53\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!78}{53\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!80}{53\!\cdots\!01}a-\frac{40\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{44\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{88\!\cdots\!91}{53\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!79}{53\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!56}{53\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!94}{53\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!79}{53\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!64}{53\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!04}{53\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!74}{76\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!43}{53\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!10}{53\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!70}{53\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!16}{53\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!22}{53\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!69}{53\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!18}{53\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!30}{53\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!60}{53\!\cdots\!01}a+\frac{33\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{62\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!03}{53\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{81\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!28}{53\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!26}{53\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!58}{53\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!40}{53\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!78}{76\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!80}{53\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!20}{53\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!70}{53\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!22}{53\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!01}a+\frac{18\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{43\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!12}{53\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!41}{53\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!80}{53\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!58}{53\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{85\!\cdots\!25}{53\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!54}{53\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!29}{53\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!98}{53\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!86}{53\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!72}{53\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!43}{53\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!75}{53\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!65}{53\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!65}{53\!\cdots\!01}a+\frac{19\!\cdots\!74}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{10\!\cdots\!80}{53\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!57}{53\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!84}{53\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!08}{53\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!79}{53\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!73}{53\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!52}{53\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!32}{53\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!66}{53\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!50}{53\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!90}{53\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!74}{53\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!15}{53\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!70}{53\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!76}{53\!\cdots\!01}a-\frac{20\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{15\!\cdots\!33}{53\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!15}{53\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!08}{53\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!31}{53\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!26}{53\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!34}{53\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!20}{53\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!80}{53\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!86}{53\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!32}{53\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!91}{53\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{99\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!62}{53\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!16}{53\!\cdots\!01}a+\frac{28\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}$, $\frac{67\!\cdots\!83}{76\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!20}{76\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!25}{76\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!09}{76\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{66\!\cdots\!68}{76\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!96}{76\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!48}{76\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!58}{76\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!97}{76\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!33}{76\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!51}{76\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!00}{76\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!28}{76\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!41}{76\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!58}{76\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!46}{76\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!30}{76\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!60}{76\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!43}a+\frac{36\!\cdots\!03}{76\!\cdots\!43}$, $\frac{23\!\cdots\!82}{76\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!92}{76\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!75}{76\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!92}{76\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!91}{76\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!45}{76\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!91}{76\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!69}{76\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!35}{76\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!35}{76\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!61}{76\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!13}{76\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!43}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!92}{76\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!35}{76\!\cdots\!43}a-\frac{25\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!43}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 475377324722890.7 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{5}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 475377324722890.7 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1694065894508600678136645001359283924102783203125}}\cr\approx \mathstrut & 0.560392067220791 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$A_5^5.C_{10}$ (as 25T187):

A non-solvable group of order 7776000000

The 419 conjugacy class representatives for $A_5^5.C_{10}$

Character table for $A_5^5.C_{10}$

Intermediate fields

5.5.390625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 30 sibling:	data not computed
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$20{,}\,{\href{/padicField/2.5.0.1}{5} }$	${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/3.5.0.1}{5} }^{3}$	R	${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }^{7}$	${\href{/padicField/11.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }$	$15{,}\,{\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }$	${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{3}$	$25$	$15{,}\,{\href{/padicField/23.10.0.1}{10} }$	$25$	$25$	$20{,}\,{\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }$	$15{,}\,{\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{2}$	${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{3}$	$15{,}\,{\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }$	$20{,}\,{\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }$	$15{,}\,{\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(5\)		Deg $25$	$25$	$1$	$69$

Additional information

This was the first (historically) explicit field which was ramified at only one prime less than $11$ whose defining polynomial has non-solvable Galois group [10.1142/S1793042111004113, MR:2782660].