Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64)
gp: K = bnfinit(y^27 - 90*y^19 - 336*y^18 + 1080*y^15 - 1215*y^11 + 3312*y^10 - 2544*y^9 + 1944*y^7 - 1728*y^6 - 324*y^3 - 144*y - 64, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64)
\( x^{27} - 90 x^{19} - 336 x^{18} + 1080 x^{15} - 1215 x^{11} + 3312 x^{10} - 2544 x^{9} + 1944 x^{7} + \cdots - 64 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[7, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(129179141716032988820749999952493979631616\)
\(\medspace = 2^{70}\cdot 3^{42}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(33.31\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{6}a^{12}-\frac{1}{2}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{36}a^{13}+\frac{1}{18}a^{12}-\frac{1}{9}a^{10}-\frac{1}{18}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{5}{12}a^{5}+\frac{1}{18}a^{4}-\frac{2}{9}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{7}{18}a+\frac{2}{9}$, $\frac{1}{36}a^{14}+\frac{1}{18}a^{12}-\frac{1}{9}a^{11}-\frac{1}{6}a^{10}+\frac{1}{9}a^{9}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{5}{12}a^{6}-\frac{1}{9}a^{5}+\frac{1}{6}a^{4}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{1}{18}a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{1}{9}$, $\frac{1}{36}a^{15}-\frac{1}{18}a^{12}-\frac{1}{6}a^{11}+\frac{1}{9}a^{9}+\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{9}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{5}{18}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{4}{9}$, $\frac{1}{36}a^{16}-\frac{1}{18}a^{12}-\frac{1}{9}a^{10}-\frac{1}{9}a^{9}-\frac{1}{12}a^{8}+\frac{2}{9}a^{7}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{6}a^{4}+\frac{2}{9}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{2}{9}a+\frac{4}{9}$, $\frac{1}{72}a^{17}+\frac{1}{18}a^{12}-\frac{1}{18}a^{11}-\frac{1}{6}a^{10}-\frac{7}{72}a^{9}+\frac{4}{9}a^{8}+\frac{1}{6}a^{7}-\frac{1}{6}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{1}{6}a^{4}+\frac{1}{9}a^{3}+\frac{2}{9}a^{2}-\frac{1}{6}a+\frac{2}{9}$, $\frac{1}{216}a^{18}-\frac{1}{18}a^{12}-\frac{1}{6}a^{11}+\frac{1}{24}a^{10}-\frac{4}{27}a^{9}-\frac{1}{6}a^{8}-\frac{1}{6}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}+\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{2}{9}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{13}{27}$, $\frac{1}{216}a^{19}-\frac{1}{18}a^{12}+\frac{1}{24}a^{11}-\frac{1}{27}a^{10}+\frac{1}{18}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{6}a^{7}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{18}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{11}{27}a+\frac{1}{9}$, $\frac{1}{216}a^{20}-\frac{1}{72}a^{12}-\frac{1}{27}a^{11}-\frac{1}{6}a^{10}+\frac{1}{18}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{4}{9}a^{3}+\frac{2}{27}a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{2}{9}$, $\frac{1}{1080}a^{21}-\frac{1}{540}a^{18}+\frac{1}{360}a^{17}+\frac{1}{90}a^{15}-\frac{1}{90}a^{14}+\frac{1}{120}a^{13}+\frac{1}{270}a^{12}+\frac{2}{15}a^{11}+\frac{7}{60}a^{10}+\frac{11}{216}a^{9}-\frac{8}{45}a^{8}-\frac{1}{10}a^{7}+\frac{7}{18}a^{6}-\frac{1}{45}a^{5}+\frac{1}{6}a^{4}+\frac{14}{135}a^{3}+\frac{2}{5}a^{2}+\frac{13}{30}a-\frac{19}{135}$, $\frac{1}{1080}a^{22}-\frac{1}{540}a^{19}-\frac{1}{540}a^{18}+\frac{1}{90}a^{16}-\frac{1}{90}a^{15}+\frac{1}{120}a^{14}+\frac{1}{270}a^{13}+\frac{1}{45}a^{12}-\frac{1}{20}a^{11}+\frac{1}{108}a^{10}-\frac{4}{135}a^{9}+\frac{1}{15}a^{8}-\frac{4}{9}a^{7}+\frac{43}{90}a^{6}-\frac{1}{6}a^{5}+\frac{73}{270}a^{4}-\frac{7}{45}a^{3}+\frac{4}{15}a^{2}+\frac{26}{135}a+\frac{13}{27}$, $\frac{1}{1080}a^{23}-\frac{1}{540}a^{20}-\frac{1}{540}a^{19}-\frac{1}{360}a^{17}-\frac{1}{90}a^{16}+\frac{1}{120}a^{15}+\frac{1}{270}a^{14}-\frac{1}{180}a^{13}+\frac{1}{180}a^{12}+\frac{7}{108}a^{11}-\frac{23}{270}a^{10}-\frac{41}{360}a^{9}-\frac{2}{9}a^{8}-\frac{16}{45}a^{7}+\frac{101}{540}a^{5}+\frac{11}{90}a^{4}-\frac{13}{45}a^{3}-\frac{49}{135}a^{2}+\frac{10}{27}a-\frac{1}{9}$, $\frac{1}{1080}a^{24}-\frac{1}{540}a^{20}-\frac{1}{540}a^{18}-\frac{1}{180}a^{17}+\frac{1}{120}a^{16}-\frac{1}{540}a^{15}-\frac{1}{180}a^{13}+\frac{13}{180}a^{12}+\frac{19}{270}a^{11}+\frac{19}{180}a^{10}+\frac{13}{108}a^{9}-\frac{19}{90}a^{8}+\frac{23}{60}a^{7}+\frac{43}{270}a^{6}-\frac{17}{60}a^{5}-\frac{1}{90}a^{4}-\frac{29}{90}a^{3}-\frac{52}{135}a^{2}+\frac{13}{90}a+\frac{2}{135}$, $\frac{1}{2160}a^{25}-\frac{1}{2160}a^{24}-\frac{1}{2160}a^{23}-\frac{1}{2160}a^{22}-\frac{1}{2160}a^{21}-\frac{1}{2160}a^{20}-\frac{1}{720}a^{19}+\frac{1}{2160}a^{18}-\frac{1}{240}a^{17}+\frac{19}{2160}a^{16}-\frac{13}{2160}a^{15}-\frac{1}{2160}a^{14}-\frac{5}{432}a^{13}-\frac{133}{2160}a^{12}-\frac{199}{2160}a^{11}+\frac{103}{720}a^{10}-\frac{49}{1080}a^{9}-\frac{9}{20}a^{8}-\frac{149}{540}a^{7}-\frac{113}{270}a^{6}-\frac{29}{270}a^{5}+\frac{13}{108}a^{4}+\frac{191}{540}a^{3}-\frac{103}{540}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{37}{135}$, $\frac{1}{34\!\cdots\!80}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!40}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!11}{85\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!20}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{310821493703431}{42\!\cdots\!86}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!20}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!65}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!30}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!65}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!72}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!20}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!80}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!60}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!30}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!30}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!20}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!60}a-\frac{38\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!65}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $16$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{29\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!60}a^{26}-\frac{72\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!80}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!85}a^{24}-\frac{81\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!89}{95\!\cdots\!80}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!55}a^{21}+\frac{11461028007101}{31\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!48}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!53}{95\!\cdots\!80}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!40}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!16}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!20}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!30}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!62}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!16}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!20}a-\frac{29\!\cdots\!76}{71\!\cdots\!31}$, $\frac{72\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!40}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!40}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!88}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!88}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!88}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!40}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!40}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!20}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!30}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!65}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!60}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!86}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!19}{42\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!65}a+\frac{16\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!65}$, $\frac{36\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!40}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!80}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!03}{63\!\cdots\!72}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{97\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!40}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!20}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!48}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!32}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!60}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!20}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!60}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!60}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!27}{71\!\cdots\!10}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!09}{71\!\cdots\!10}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!40}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!24}a-\frac{95\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!95}$, $\frac{12\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!80}a^{26}-\frac{80\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!88}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!65}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!65}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!20}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!72}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!40}a^{18}-\frac{86\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!20}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!20}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!30}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!93}{42\!\cdots\!60}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!76}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!88}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!21}{85\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!60}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!30}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!30}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!44}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!60}a-\frac{57\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!65}$, $\frac{55\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!60}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!44}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!21}{71\!\cdots\!10}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!40}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{125265304484093}{15\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{97\!\cdots\!57}{95\!\cdots\!80}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!55}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!48}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!43}{47\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!85}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!55}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!55}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!75}{71\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!80}a-\frac{12\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!55}$, $\frac{18\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!20}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!55}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!96}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{83\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!96}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!80}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!71}{71\!\cdots\!10}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!80}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!80}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!80}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!55}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!55}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!24}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!40}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!20}a-\frac{31\!\cdots\!42}{71\!\cdots\!31}$, 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Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{7}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 322730154520.6651 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{129179141716032988820749999952493979631616}}\cr\approx \mathstrut & 5.51089334665965 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 90*x^19 - 336*x^18 + 1080*x^15 - 1215*x^11 + 3312*x^10 - 2544*x^9 + 1944*x^7 - 1728*x^6 - 324*x^3 - 144*x - 64);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 25920 |
| The 20 conjugacy class representatives for $\PSp(4,3)$ |
| Character table for $\PSp(4,3)$ |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 36 sibling: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Degree 45 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.5.0.1}{5} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/53.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/59.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| $\Q_{2}$ | $x + 1$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| 2.2.2.1 | $x^{2} + 2 x + 2$ | $2$ | $1$ | $2$ | $C_2$ | $[2]$ | |
| 2.8.20.112 | $x^{8} + 4 x^{7} + 6 x^{6} + 4 x^{5} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 10$ | $8$ | $1$ | $20$ | $C_2\wr A_4$ | $[2, 2, 2, 3, 3, 7/2]^{3}$ | |
| Deg $16$ | $16$ | $1$ | $48$ | ||||
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $42$ |