Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2)
gp: K = bnfinit(y^27 - 3*y^26 - 12*y^25 + 54*y^24 + 42*y^23 - 588*y^22 + 1104*y^21 + 576*y^20 - 5730*y^19 + 9174*y^18 - 222*y^17 - 23034*y^16 + 40404*y^15 - 22632*y^14 - 33780*y^13 + 92028*y^12 - 106221*y^11 + 66099*y^10 - 4728*y^9 - 36054*y^8 + 42234*y^7 - 28380*y^6 + 13176*y^5 - 4332*y^4 + 936*y^3 - 96*y^2 - 6*y + 2, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2)
\( x^{27} - 3 x^{26} - 12 x^{25} + 54 x^{24} + 42 x^{23} - 588 x^{22} + 1104 x^{21} + 576 x^{20} - 5730 x^{19} + \cdots + 2 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[7, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(7699676854373990823075175282507776000000\)
\(\medspace = 2^{52}\cdot 3^{42}\cdot 5^{6}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(30.01\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(5\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!94}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{95\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{82\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{84\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!94}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!97}a+\frac{55\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!97}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $16$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{74\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!97}a+\frac{18\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{17\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!97}a+\frac{67\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{32\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{83\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{92\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a+\frac{14\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{27\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{83\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{10\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!97}a-\frac{42\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{54\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!97}a+\frac{11\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{27\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{96\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{65\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!97}a-\frac{36\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{76\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a+\frac{43\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{38\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a+\frac{24\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{78\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{99\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!97}a+\frac{15\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{19\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!45}{78\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a-\frac{98\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{27\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{83\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{78\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{60\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!97}a+\frac{11\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{38\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{82\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!97}a-\frac{17\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{33\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{86\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{98\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!97}a+\frac{16\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!97}$, $\frac{89\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!97}a+\frac{57\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!97}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 32838878089.412144 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{7}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 32838878089.412144 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{7699676854373990823075175282507776000000}}\cr\approx \mathstrut & 2.29683987682577 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 3*x^26 - 12*x^25 + 54*x^24 + 42*x^23 - 588*x^22 + 1104*x^21 + 576*x^20 - 5730*x^19 + 9174*x^18 - 222*x^17 - 23034*x^16 + 40404*x^15 - 22632*x^14 - 33780*x^13 + 92028*x^12 - 106221*x^11 + 66099*x^10 - 4728*x^9 - 36054*x^8 + 42234*x^7 - 28380*x^6 + 13176*x^5 - 4332*x^4 + 936*x^3 - 96*x^2 - 6*x + 2);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$\SO(5,3)$ (as 27T1161):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 51840 |
| The 25 conjugacy class representatives for $\SO(5,3)$ |
| Character table for $\SO(5,3)$ |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 36 sibling: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Degree 45 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | R | ${\href{/padicField/7.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/11.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/13.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/19.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/23.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/29.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/31.5.0.1}{5} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/43.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{5}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| $\Q_{2}$ | $x + 1$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| 2.10.16.1 | $x^{10} + 2 x^{7} + 4 x^{4} + 4 x^{2} + 2$ | $10$ | $1$ | $16$ | $(C_2^4 : C_5):C_4$ | $[12/5, 12/5, 12/5, 12/5]_{5}^{4}$ | |
| Deg $16$ | $16$ | $1$ | $36$ | ||||
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $42$ | |||
|
\(5\)
| 5.3.0.1 | $x^{3} + 3 x + 3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 5.6.0.1 | $x^{6} + x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 5.6.0.1 | $x^{6} + x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 5.12.6.1 | $x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$ | $2$ | $6$ | $6$ | $C_6\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{6}$ |