Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54)
gp: K = bnfinit(y^28 - 10*y^27 + 54*y^26 - 198*y^25 + 531*y^24 - 1080*y^23 + 1404*y^22 - 468*y^21 - 990*y^20 - 684*y^19 + 6138*y^18 - 7236*y^17 - 5238*y^16 + 16308*y^15 - 2160*y^14 - 12528*y^13 + 3402*y^12 - 1728*y^11 + 7776*y^10 + 10368*y^9 - 22842*y^8 + 1944*y^7 + 14904*y^6 - 6480*y^5 - 2106*y^4 + 324*y^3 + 1296*y^2 - 540*y + 54, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54)
\( x^{28} - 10 x^{27} + 54 x^{26} - 198 x^{25} + 531 x^{24} - 1080 x^{23} + 1404 x^{22} - 468 x^{21} + \cdots + 54 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $28$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[4, 12]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(5430408664521028609924750252641622651740094464\)
\(\medspace = 2^{60}\cdot 3^{58}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(42.99\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{9}$, $\frac{1}{9}a^{15}-\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{9}a^{16}-\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{9}a^{17}-\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{9}a^{18}-\frac{1}{9}a^{14}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{9}a^{19}-\frac{1}{9}a^{14}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{27}a^{20}-\frac{1}{27}a^{19}+\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{9}a^{13}-\frac{1}{9}a^{11}+\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{27}a^{21}-\frac{1}{27}a^{19}+\frac{1}{9}a^{14}-\frac{1}{9}a^{13}-\frac{1}{9}a^{12}+\frac{1}{9}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{27}a^{22}-\frac{1}{27}a^{19}+\frac{1}{9}a^{14}+\frac{1}{9}a^{13}+\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{27}a^{23}-\frac{1}{27}a^{19}-\frac{1}{9}a^{13}+\frac{1}{9}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{27}a^{24}-\frac{1}{27}a^{19}-\frac{1}{9}a^{13}+\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{27}a^{25}-\frac{1}{27}a^{19}-\frac{1}{9}a^{13}+\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{54}a^{26}-\frac{1}{54}a^{24}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{6}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{55\!\cdots\!27}{93\!\cdots\!84}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!26}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!26}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!14}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!42}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{79\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!42}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!14}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!14}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!89}{51\!\cdots\!38}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!14}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!82}{77\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!38}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!38}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!38}a-\frac{21\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!38}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{16\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!26}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!26}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!42}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!26}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!95}{70\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{70\!\cdots\!94}{70\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!73}{70\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!16}{70\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!28}{70\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!08}{77\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!07}a-\frac{35\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{41\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!42}a^{27}+\frac{22\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!26}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!93}{70\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!04}{70\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!35}{70\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!84}{70\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!85}{70\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!40}{77\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!69}a+\frac{26\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{28\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!28}a^{27}+\frac{24\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!42}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!38}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!26}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!71}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!14}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!42}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!42}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!38}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!38}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!12}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!14}a+\frac{67\!\cdots\!25}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{16\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!26}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!26}a^{26}+\frac{83\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!14}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!26}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!27}{70\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!99}{70\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!69}a+\frac{41\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{47\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{95\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!42}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!26}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!26}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!28}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!42}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!62}{77\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!42}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!42}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!38}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!14}a+\frac{26\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{72\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{68\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!33}{93\!\cdots\!84}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!97}{93\!\cdots\!84}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!26}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!42}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!26}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!42}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!42}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!14}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!14}{77\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!38}a+\frac{12\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{15\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!28}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{79\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!42}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!14}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!26}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!79}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!42}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!42}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!42}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!14}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!14}a+\frac{14\!\cdots\!99}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{95\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!28}a^{27}+\frac{88\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!28}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!26}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!14}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!26}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!14}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!42}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!14}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!38}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!38}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{81\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!69}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!14}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!38}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!38}a-\frac{15\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{19\!\cdots\!71}{93\!\cdots\!84}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!28}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!52}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!26}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!14}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!26}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!26}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!65}{70\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!14}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!14}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!42}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!42}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!38}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!38}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!69}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!14}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!14}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!14}a-\frac{92\!\cdots\!29}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{81\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!14}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!04}{70\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!38}a^{25}-\frac{71\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!83}{70\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!35}{70\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!21}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!55}{70\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!71}{77\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!71}{77\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!07}a-\frac{15\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{18\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!26}a^{27}+\frac{95\!\cdots\!39}{70\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!26}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!91}{70\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{53\!\cdots\!34}{70\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!84}{70\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!41}{70\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!98}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!15}{77\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!39}{77\!\cdots\!07}a+\frac{15\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{20\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!05}{93\!\cdots\!84}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!43}{93\!\cdots\!84}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!14}a^{23}+\frac{98\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!26}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!42}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!46}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!14}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!14}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!42}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!42}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!38}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!38}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{81\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!14}a+\frac{99\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{96\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!28}a^{27}+\frac{82\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!28}a^{24}-\frac{64\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!42}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!26}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!14}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!14}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!66}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!14}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!38}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!42}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!38}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!38}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!14}a+\frac{15\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{26\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!26}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!26}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!42}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!26}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!31}{70\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!14}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!42}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!42}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!42}a^{10}-\frac{99\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!14}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!14}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!14}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!14}a+\frac{58\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!38}$, $\frac{67\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!42}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!82}{77\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!14}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!11}{70\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!59}{70\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{85\!\cdots\!44}{70\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!71}{70\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!21}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!69}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!39}{77\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!40}{77\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!69}a-\frac{34\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!69}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 5244773578660.423 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{4}\cdot(2\pi)^{12}\cdot 5244773578660.423 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{5430408664521028609924750252641622651740094464}}\cr\approx \mathstrut & 2.15555393790409 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 10*x^27 + 54*x^26 - 198*x^25 + 531*x^24 - 1080*x^23 + 1404*x^22 - 468*x^21 - 990*x^20 - 684*x^19 + 6138*x^18 - 7236*x^17 - 5238*x^16 + 16308*x^15 - 2160*x^14 - 12528*x^13 + 3402*x^12 - 1728*x^11 + 7776*x^10 + 10368*x^9 - 22842*x^8 + 1944*x^7 + 14904*x^6 - 6480*x^5 - 2106*x^4 + 324*x^3 + 1296*x^2 - 540*x + 54);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 12096 |
| The 16 conjugacy class representatives for $G(2,2)$ |
| Character table for $G(2,2)$ |
Intermediate fields
| The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 36 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/11.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/13.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/19.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/23.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/37.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/53.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.4.4.5 | $x^{4} + 2 x + 2$ | $4$ | $1$ | $4$ | $S_4$ | $[4/3, 4/3]_{3}^{2}$ |
| Deg $24$ | $24$ | $1$ | $56$ | ||||
|
\(3\)
| $\Q_{3}$ | $x + 1$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $58$ |