Normalized defining polynomial
\( x^{28} - 8 x^{27} + 18 x^{26} + 12 x^{25} - 114 x^{24} + 252 x^{23} - 414 x^{22} + 216 x^{21} + \cdots - 18096 \)
Invariants
Degree: | $28$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[4, 12]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(84850135383141072030074222697525353933438976\) \(\medspace = 2^{54}\cdot 3^{58}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(37.06\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | not computed | ||
Ramified primes: | \(2\), \(3\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{20}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{21}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{4}a^{22}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{23}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{24}-\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{8}a^{25}-\frac{1}{4}a^{21}-\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{3}{8}a^{9}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{8}a^{26}-\frac{1}{4}a^{20}+\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{13}+\frac{1}{4}a^{12}+\frac{3}{8}a^{10}+\frac{1}{4}a^{8}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!38}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!41}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!38}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!38}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!31}{97\!\cdots\!76}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!38}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!57}{97\!\cdots\!76}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!38}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!81}{97\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!38}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!59}{97\!\cdots\!76}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!38}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!38}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!69}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!38}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!38}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!69}a-\frac{56\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!69}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{17\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!38}a^{27}-\frac{59\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!81}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!38}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!38}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!87}{97\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!65}{97\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!38}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!95}{48\!\cdots\!38}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!38}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!59}{97\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!38}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!38}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!38}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!38}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!69}a-\frac{87\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{52\!\cdots\!93}{97\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{97\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!15}{97\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!53}{97\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!38}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!09}{97\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!38}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!38}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!47}{97\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!38}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!38}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!76}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!38}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!69}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!69}a-\frac{44\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{58\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!19}{97\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{97\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!38}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!65}{97\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!95}{97\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!35}{97\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!61}{97\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!38}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!83}{97\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!09}{97\!\cdots\!76}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!52}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!69}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!38}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!45}{97\!\cdots\!76}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!69}a+\frac{12\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{49\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{35\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!38}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!55}{24\!\cdots\!69}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!09}{97\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!05}{97\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!76}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!41}{97\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!47}{97\!\cdots\!76}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!52}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!76}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!38}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!69}a+\frac{54\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{73\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!38}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!51}{97\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!38}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!38}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!75}{97\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!47}{97\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!38}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!76}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!38}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!38}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!09}{97\!\cdots\!76}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!73}{97\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!65}{97\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!38}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!38}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!38}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!69}a-\frac{23\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{10\!\cdots\!23}{97\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{43\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!38}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!51}{97\!\cdots\!76}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!59}{97\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!69}{97\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!73}{97\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!38}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!89}{97\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!38}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!38}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!73}{97\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!38}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!69}{97\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!38}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!69}a+\frac{93\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{74\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{27\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!38}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!53}{97\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{67\!\cdots\!87}{97\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{51\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!38}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!38}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!38}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!75}{97\!\cdots\!76}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!38}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!59}{97\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!38}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!85}{97\!\cdots\!76}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!38}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!76}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!45}{97\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!38}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!69}a+\frac{56\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{46\!\cdots\!15}{97\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{73\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!69}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!38}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!38}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!89}{97\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!45}{97\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!69}{97\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!87}{97\!\cdots\!76}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!38}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!38}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!35}{97\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!76}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!76}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!38}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!69}a-\frac{89\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{30\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!38}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!69}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!69}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!57}{97\!\cdots\!76}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!77}{97\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!38}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!38}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!75}{97\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!38}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!38}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!76}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!38}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!75}{97\!\cdots\!76}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!38}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!38}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!69}a+\frac{48\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{40\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{93\!\cdots\!23}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!76}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!69}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!15}{97\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!59}{97\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!38}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!38}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!05}{97\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!81}{97\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!17}{97\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!38}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!38}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!51}{97\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!38}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!38}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!38}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!69}a-\frac{52\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{47\!\cdots\!93}{97\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{39\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!69}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{82\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!76}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!41}{97\!\cdots\!76}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!38}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!05}{97\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!38}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!38}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!49}{97\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!59}{97\!\cdots\!76}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!19}{97\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!41}{97\!\cdots\!76}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!38}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!38}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!38}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!69}a+\frac{50\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{27\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{99\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!85}{97\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{55\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!38}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!38}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!45}{97\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!38}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!87}{97\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!38}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!76}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!11}{97\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!65}{97\!\cdots\!76}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!38}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!38}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!38}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!69}a+\frac{73\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{31\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!38}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!52}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!38}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!38}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!23}{97\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{97\!\cdots\!33}{97\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!38}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!38}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!38}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!45}{97\!\cdots\!76}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!38}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!05}{97\!\cdots\!76}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!33}{97\!\cdots\!76}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!38}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!69}a+\frac{27\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{32\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!38}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!07}{97\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!47}{97\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!39}{97\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{81\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!38}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!69}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!38}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!69}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!38}a^{15}+\frac{82\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!38}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!38}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!17}{97\!\cdots\!76}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!76}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!27}{97\!\cdots\!76}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!73}{97\!\cdots\!76}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!77}{97\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!69}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!69}a-\frac{32\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!69}$, $\frac{15\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!33}{97\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!57}{97\!\cdots\!76}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!03}{97\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!38}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!91}{97\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!38}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!38}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!09}{97\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!11}{97\!\cdots\!76}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!38}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!35}{97\!\cdots\!76}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!76}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!38}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!69}a+\frac{34\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!69}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 274493762880.8474 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{4}\cdot(2\pi)^{12}\cdot 274493762880.8474 \cdot 2}{2\cdot\sqrt{84850135383141072030074222697525353933438976}}\cr\approx \mathstrut & 1.80503078772463 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A non-solvable group of order 12096 |
The 16 conjugacy class representatives for $G(2,2)$ |
Character table for $G(2,2)$ |
Intermediate fields
The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
Sibling fields
Degree 36 sibling: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/11.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/13.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/23.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/37.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.8.0.1}{8} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.12.22.136 | $x^{12} + 2 x^{11} + 2 x^{6} + 4 x^{3} + 4 x + 6$ | $12$ | $1$ | $22$ | 12T112 | $[4/3, 4/3, 2, 7/3, 7/3]_{3}^{2}$ |
Deg $16$ | $16$ | $1$ | $32$ | ||||
\(3\) | $\Q_{3}$ | $x + 1$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
Deg $27$ | $27$ | $1$ | $58$ |